اندازه هاي متمايل به مركز، يا اندازه هاي مركزي
يك اندازه مركزي، مركز ثقل يك هيستوگرام و يا يك منحني توزيع را نشان مي دهد.

• ميانگين حسابي
• ميانه
• نما
• مقايسه اندازه هاي مركزي ميانگين، ميانه و نما
• رابطه بين ميانگين، ميانه و نما
• ديگر اندازه هاي مركزي
• ميانگين وزني
• ميانگين پيراسته
• ميانگين هارمونيك یا توافقی
• ميانگين هندسي
• ميانگين رتبه دو

كه آن را ميانگين نيز مي گويند متداول ترين اندازه مركزي مي باشد كه از رابطه به دست مي‌آيد.

(تعداد اندازه ها)/ (مجموع اندازه ها) = ميانگين

ميانگين محاسبه شده براي داده هاي نمونه را با علامت و ميانگين جمعیت را با علامت نشان مي‌دهند. به عبارت ديگر اگر اندازه نمونه انتخاب شده برابر با n و اندازه جمعیت برابر با N (جمعیت محدود) و اندازه صفت عضـوام جمعیت با نشان داده شود، آنگاه

(معمولاً در بررسي هاي آماريمجهول است)

مثال: میانگین حسابی چهار داده 3، 5، 7 و 2 عبارت است از:


اگر داده هاي جمع آوري شده در يك جدول توزيع فراواني در طبقه تنظيم شده باشند، ميانگين از رابطه‌هاي

	( براي جدول فراواني رده‌بندي شده )
	( براي جدول فراواني طبقه‌بندي شده )

كه در آن مقدار رده، فراواني و مركز طبقةام جدول است.

مثال: جدول زیر توزیع بیماران مراجعه کننده به یک درمانگاه را بر حسب تعداد دندانهای فاسد آنها نشان می دهد.
میانگین حسابی این داده ها را محاسبه نمایید.

مثال: جدول فراوانی سنی نوزادان در یک بیمارستان در جدول زیر تنظیم شده است. میانگین سن این نوزادان عبارت است از:

11-8	7-4	3-0	فاصله سنی بر حسب ماه
10	20	10	فراوانی
9.5	5.5	1.5	مرکز طبقه

مقدار ميانگين محاسبه شده با استفاده از جدول فراواني طبقه بندي با مقدار واقعي ميانگين تفاوت دارد، زيرا در محاسبه، مركز هر طبقه به جاي كل داده هاي آن طبقه در نظر گرفته شده است (يك يكنواختي رد اينجا فرض مي شود كه با حالت واقعي آن تفاوت چنداني ندارد و قابل چشم پوشي است).

داده هاي پرت يا مقادير فرين و تأثير آنها روي ميانگين: بعضاً مجموعه اي از داده ها ممكن است شامل چند عدد خيلي كوچك و يا چند عدد حقيقي بزرگ باشد، كــــه آنها را ” دادة پرت” مي گويند. به طور كلي اندازه هائي كه مقدار آنها در ميقايسه با اكثر داده ها بسيار كوچك و يا بسيار بزرگ مي باشد را داده پرت و يا مقادير فرين مي گويند. بهترين راه تشخيص داده هاي پرت، استفاده از نمودار ”باكس” مي باشد. يك از معايب ميانگين به عنوان اندازه مركزي حساسيت آن به داده هاي پرت است كه براي رفع اين مشكل معيار ميانه به كار برده مي شود.

يكي از اندازه هاي مهم مركزي مي باشد كه به صورت زير تعريف مي شود. ميانه مجموعه اي از داده ها، كه آن را بانشان مي دهند، اندازه اي است كه حداقل نيمي از داده ها از آن عدد كمتر باشند.

محاسبه میانه برای داده های گسسته:
براي محاسبه ميانه با استفاده از داده هاي خام به ترتيب زير عمل مي كنيم.
١- داده ها را به ترتيب صعودي يا نزولي مرتب مي كنيم
٢- به داده هاي مرتب شده رتبه اختصاص مي دهيم به طوريكه به اولين عدد رتبه 1 ، و به آخرين عدد رتبه n يا تعلق مي گيرد.جايگشتي مرتب شده از مقادير داده هاي اصلي هستند.
٣- چنانچه n فرد باشد ميانه عددي است كه رتبه را دارد و چنانچه n زوج باشد ميانه ميانگين دو عددي است كه رتبه هاي و را اخيتار كرده اند، يعني


مثال1: میانه داده های زیر را بدست آورید:
77, 79, 80, 86, 87, 87, 94, 99
حل:تعداد داده ها برابر با 8 است. با توجه به اینکه داده ها مرتب شده هستند،بنابراین میانه داده ها عبارت است از:



مثال2: میانه داده های زیر را بدست آورید:
80, 75, 90, 95, 65, 65, 85, 70, 100

حل: ابتدا داده ها را از کوچک به بزرگ مرتب می نماییم.
65, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100
تعداد داده ها برابر با 9 است. ،بنابراین میانه داده ها عبارت است از:



محاسبه میانه برای داده های پیوسته:
مقدار ميانه را نيز مي توان با استفاده از جدول فراواني محاسبه نمود
براي بدست آوردن ميانه با استفاده از جدول فراواني قرمهاي زير را بر مي‌داريم
١- مقدار را محاسبه نموده با ستون فراواني تجمعي جدول مقايسه و اولين طبقه يا رده اي كه فراواني تجمعي آن بزرگتر يا مساوي است را تعيين و آن را طبقه يا رده ميانه مي ناميم.
٢- چنانچه از جدول فراواني رده بندي شده استفاده مي كنيم اندازه ميانه همان رده ميانه است و چنانچه از جدول فراواني طبقه بندي استفاده مي شود ميانه تقريبي از رابطه زير بدست مي آيد.

كه در اين رابطه
حد طبقه پايين طبقه ميانه=
فراواني تجمعي طبقه قبل از طبقه ميانه=
فراواني طبقه ميانه=
طول طبقه =
فرمول فوق با فرض يكنواختي در داخل هر طبقه و بر اساس يك تناسب ساده به دست مي آيد.
ميانه نيز مركز هيستوگرام را تعيين مي كند به طوريكه معمولاً نصف داده ها در طرف راست و نصف ديگر در طرف چپ آن قرار مي گيرند.
مزيت ميانه به عنوان يك اندازه مركزي بر ميانگين در اين است كه ميانه تحت تأثير داده هاي پرت قرار نمي گيرد، اما از طرف ديگر با توجه به اينکه ميانه از اندازه همه داده ها به دست نمي آيد معيار قابل قبولي براي بسياري از بررسي هاي آماري نيست.

نما ترجمه كلمه مد است، كه يك لغت فرانسوي و به معناي ” متداول ترين” است. نما، براي مجموعه اي از داده‌ها عبارتست از اندازه اي كه بيشترين فراواني را دارا مي باشد. برخلاف ميانگين و ميانه كه براي مجموعه اي از داده‌ها وجود داشته و يكتا است، نما، لزوماً چنين خاصيتي را ندارد. اگر فراواني داده ها يكسان باشد، توزيع آنها نما ندارد. به عبارت دیگر داده ها بدون نما هستند.
اگر دو اندازه از داده ها فراواني يكسان و بيشترين فراواني را داشته باشند توزع آنها دو نمائي است. به همين ترتيب ممكن است توزيع چند نمائي براي مجموعه اي از داده ها داشته باشيم. نما را با حرف M یا Mo نمایش می دهیم.
شکل منحنی های یک نمایی و دو نمایی

محاسبه نما برای داده های گسسته:
١- پیدا کردن فراوانی داده ها
٢- داده ای که فراوانی آن بیشتر باشد را به عنوان نما انتخاب می کنیم.
توضیح: اگر دو داده دارای فراوانی مساوی باشند،بیشتر از سایر فراوانی ها، هر دو را به عنوان نما انتخاب می کنیم. مشروط بر اینکه این دو داده کنار هم نباشند. اگر کنار هم بودند، نصف مجموع آنها را نما می خوانیم.

مثال: برای داده های 3،1،3،1،3،1،3،2،4،5،3،3،1 نما برابر است با M=3 .
مثال: برای داده های 1،1،3،2،1،4،3،3،5 دو داده 1 و 3 که کنار هم نیستند و فراوانی مشترک آنها بیش از سایر فراوانی هاست، هر دو به عنوان نما اختیار می شوند.
مثال: برای داده های1،3،1،1،2،1،3،2،2،4،5،2 نصف دو داده 1 و 2 که کنار هم نیستند و دارای فراوانی 4 (بیش از سایر فراوانی ها) هستند به عنوان نما اختیار می شود. یعنیM=5/1

محاسبه نما برای داده های پیوسته:
١- خلاصه کردن داده ها در یک جدول فراوانی
٢- نماینده رده ای را که دارای فراوانی بیشتر می باشد و رده نمایی نامیده می شود را به عنوان نما اختیار می کنیم.
برای دقت بیشتر می توان نما را از فرمول

بدست آورد. در این فرمول نما، مرز پایین رده نمایی، اختلاف فراوانی های نسبی رده نمایی و رده بلافاصله قبل از آن، اختلاف فراوانی های نسبی رده نمایی و رده بلافاصله بعد از آن و طول رده می باشد.

براي مجموعه اي از داده ها نمي توان به سادگي نتيجه گرفت كه كداميك از اندازه هاي مركزي ميانگين، ميانه و نما بهترين معيار است. لذا در اين قسمت به ويژگيها و موارد استفاده آنها اشاره مي شود تا استفاده كننده با شناخت بهتري بتواند معيار مناسب را انتخاب نمايد.
الف) ميانگين حسابي
١- ميانگين با استفاده از ارزش همه داده ها محاسبه مي گردد.
٢- مقدار ميانگين نسبت به دو معيار ديگر در نمونه گيري هاي متفاوت از يك جمعیت كمتر تغيير مي‌يابد .
٣- از ميانگين براي محاسبه معيارهاي پراكندگي استفاده مي شود.
٤- ميانگين را نمي توان براي يك جدول توزيع فراواني كه طبقه اول و طبقه آخر آن محدود نمي باشند محاسبه نمود.
٥- ميانگين براي مجموعه اي از داده ها يكتا است.
٦- اندازه ميانگين تحت تأثير مقادير بسيار بزرگ و يا مقادير بسيار كوچك قرار مي گيرد و به همين دليل مي تواند معيار مركزي نامناسبي باشد.
ب) ميانه
١- ميانه زماني محاسبه مي گردد كه نياز به شناخت ارزش مياني داده ها باشد.
٢- براي تشخيص اينكه اندازه اي از داده ها در نيمه بالا و يا نيمه پايين توزيع قرار مي گيرد، محاسبه ميانه لازم است.
٣- ميانه معيار مركزي مناسبي براي داده هاي جدول توزيع فراواني است كه طبقه اول و طبقه آخر آن محدود نيست.
٤- ميانه كمتر تحت تأثير مقادير بسيار كوچك و بسيار بزرگ قرار مي گيرد.
ج) نما
١- براي تعيين متداول ترين اندازه داده ها از معيار نما استفاده مي شود.
٢- محاسبه معيار مركزي نما از ساير معيارها ساده تر است
٣- نما را مي توان به عنوان يك معيار مركزي براي داده هاي كيفي نيز به كار برد
٤- ممكن است براي مجموعه اي از داده ها نما وجود نداشته باشد و يا بيش از يك نما موجود باشد.

رابطه بين معيارهاي مركزي ميانگين، ميانه و نما براي توزيع هاي متقارن و چوله به شرح زير مي باشد.
١- براي مجموعه اي از داده ها با هيستوگرام متقارن و يك نمائي، مقادير ميانگين، ميانه و نما يكسان بوده و در مركز توزيع قرار دارند.

٢- براي هيستوگرامي كه چوله به راست مي باشد، مقدار ميانگين بزرگترين اندازه و نما كوچكترين اندازه مركزي و ميانه بين اين دو اندازه قرار دارد. دليل بزرگ بودن ميانگين، تأثير اندازه هاي بسيار بزرگ در طرف راست هيستوگرام مي باشد.

٣- براي هيستوگرامي كه چوله به چپ است. ميانگين كوچكترين اندازه و نما بزرگترين اندازه را دارا است و ميانه بين اين دو اندازه قرار مي گيرد.

هرگاه میزان چولگی خفیف باشد، بین میانگین و میانه و مد، رابطه تقریبی زیر برقرار است:

اگر از و و سه خط موازی محور ها رسم کنیم، از نظر هندسی خطی که از رسم می شود از نقطه ماکزیمم منحنی فراوانی می گذرد، خطی که از رسم می شود مساحت زیر منحنی فراوانی را نصف می کند و خطی که از می گذرد محور تعادل منحنی را مشخص می سازد.

فرض کنیدداده به صورت با فراوانی های داشته باشیم. (در صورتی که داده ها پیوسته باشند، ها را نماینده رده ها/طبقات در نظر می گیریم.

در برخي از داده ها براي محاسبه ميانگين حسابي، به دليل اينكه مقادير مشاهده شده ارزش هاي متفاوت دارند لازم است به هر مشاهده وزني را اختصاص داده و سپس ميانگين داده هاي وزن داده شده را محاسبه نمود.
ميانگين وزني از فرمول زير محاسبه مي شود

همانگونه كه پيش از اين ذكر شد اندازه ميانگين تحت تأثير مقادير بسيار بزرگ و يا مقادير بسيار كوچك قرار مي گيرد و به همين دليل مي تواند معيار مركزي نامناسبي باشد در چنين شرايطي شايد مناسب باشد از معيار ميانگين پيراسته كه از از تاثير مقادير فرين مصون مي‌باشد استفاده نماييم.

يك ميانگين پيراستة كه با نمايش داده ميشود به ميانگين حسابي گفته ميشود كه پس از كنار گذاردن نسبتاز مشاهدات دو انتهاي مجموعة دادة مرتب شده محاسبه شود. براي محاسبه ميانگينپيراسته با استفاده از داده هاي خام به ترتيب زير عمل مي كنيم.
١- داده ها را به ترتيب صعودي يا نزولي مرتب مي كنيم
٢- به داده هاي مرتب شده رتبه اختصاص مي دهيم به طوريكه به اولين عدد رتبه 1 ، و به آخرين عدد رتبه n يا تعلق مي گيرد. جايگشتي مرتب شده از ‌مقاديرداده هاي اصلي هستند.
٣- مقدار صحيح عبارت را محاسبه مي‌كنيم و مي‌ناميم
٤- ميانگين حسابي مشاهدات را محاسبه‌ مي‌كنيم

ميانگين هارمونيك به صورت عكس ميانگين معكوس اندازه ها تعريف شده است. در صورتی که همگی غیرصفر باشند، ميانگين هارمونيك از رابطه زير به دست مي آيد.

كاربرد اين ميانگين در موارد خاص مي باشد. مثلاً براي محاسبه متوسط سرعت اتومبيل وقتي كه اتومبيل فاصله بين دو شهر را با سرعت هاي متفاوت طي مي كند، سرعت متوسط را نمي توان از ميانگين حسابي به دست آورد. فرض كنيد راننده اي مسافت 100 كيلومتر را با سرعت 80 كيلومتر در ساعت طي مي كند و در برگشت همان مسافت را با سرعت 90 كيلومتر در ساعت، در اين صورت سرعت متوسط رانند 85 كيلومتر در ساعت نيست زيرا


كه با استفاده از ميانگين هارمونيك نيز نتيجه فوق حاصل مي شود.


به طور كلي ميانگين هارمونيك زماني استفاده مي شود ه مشاهدات به صورت معكوس براي ميانگين مورد نظر بيان شده اند. مثلاً اگر متوسط قيمت يك كالا خواسته شود و اطلاعات به صورت تعداد كالاها براي يك قيمت معين داده شده باشد، از ميانگين هارمونيك استفاده مي شود. این میانگین در عینک سنجی و مطالعه شبکه های برق به کار می رود.

ميانگين هندسي معيار مركزي مناسب براي داده هايي از نوع درصد، نسبت، نرخ، شاخص ها و غيره است. براي محاسبه ميانگين هندسي، در صورتی که همگی مثبت باشند، از رابطه

استفاده مي شود.
برای محاسبه این میانگین آسانتر است که قبلا لگاریتم آن راحساب کرد. لگاریتم این میانگین برابر است با میانگین حسابی

این میانگین به صورت

تعریف می شود و در حقیقت برابر است با جذر میانگین حسابی .
می توان ثابت کرد که میان چهار نوع میانگین حسابی، هندسی، توافقی و رتبه دو، رابطه زیر برقرار است: